福井大学医学部 2025年数学の大問５

只今、塾は大忙しのためブログの更新がお久しぶりになりました。 共通テスト→自己採点→中間発表の後、国立大学医学部受験に関しては、全国の大学の配点、共通テスト割合などを出して

受験校を決めるわけですが、

ある程度絞ってから、過去問を解いてみて、自分なりに「ここで戦う」ということを決めるのです。

そこで、福井大学医学部の過去問も集めたのですが、数学は大問4と5の選択でしたが、

模範解答には４しかありません。

ネット上、どこを調べてもないのです。

うちの塾生は5で解いていました。

模範解答がない理由は、こちらは新課程から導入された「統計」の問題だったので、

各塾、予備校講師たちの時代にはなかった単元だったからです。

そこで自塾で作成をしました。

それがこちらです。

問題：

同じ大きさの玉が多数個入った袋がある。袋の中に入っている玉の数は 60％が赤玉で， 残りはすべて白玉である。この袋から玉を1個取り出してもとに戻すことをn回続け て行うとき，以下の問いに答えよ。なお，（2), (3) については問題冊子にある正規分布 表を利用せよ。 (1) 取り出された赤玉1個について賞金100円を受け取るゲームを行う。 n=3であ り，このゲームの参加料が200円であるとき，ゲームに参加することは得である といえるか。期待値を用いて答えよ。 (2) n = 600 とし，赤玉の出る回数を Xとする。 Xが339以下の値をとる確率を求 めよ。ただし，結果は小数第3位を四捨五入して小数第2位までの数値で表せ。 (3) 袋の中に入っている赤玉の割合が60％であるかどうかを調べるために，この袋か ら玉を 1個取り出してもとに戻すことを1350回続けて行ったところ，赤玉が844 回出た。この袋の中に入っている赤玉の割合は60％ではないと判断してよいか。 有意水準5％で検定せよ。 模範解答：

赤玉の確率に関する問題の整理

(1) 期待値を用いたゲームの損得

条件:赤玉の確率 p = 0.6、試行回数 n = 3赤玉1個につき100円もらえるので、赤玉の個数を X とすると、受け取る金額は 100X 円。

期待値:E[X] = np = 3 × 0.6 = 1.8E[100X] = 100 × 1.8 = 180 円

参加料: 200円期待利益 = 180 - 200 = -20 円

結論: 期待値がマイナスなので、このゲームに参加するのは「損」である。

(2) n = 600、X ≤ 339 の確率

条件:n = 600、p = 0.6、赤玉の回数を X とする。X ~ Bin(600, 0.6)

正規近似:平均 μ = np = 600 × 0.6 = 360分散 σ² = np(1-p) = 600 × 0.6 × 0.4 = 144標準偏差 σ = √144 = 12

連続補正を用いてP(X ≤ 339) ≈ P(Y ≤ 339.5)、ただし Y ~ N(360, 12²)

標準化:z = (339.5 - 360)/12 ≈ -1.71P(Z ≤ -1.71) ≈ 0.0437小数第2位まで: 0.04

(3) 比率が 60% かどうかの検定（有意水準5%）

状況:試行回数 n = 1350、赤玉が出た回数 = 844標本比率 p̂ = 844 / 1350 ≈ 0.6252

検定の設定:H₀: p = 0.6、H₁: p ≠ 0.6（両側検定、有意水準5%）

検定統計量:μ = np = 810σ² = np(1-p) = 324σ = √324 = 18z = (844 - 810)/18 ≈ 1.89

棄却域:有意水準5%の両側検定 → 臨界値 z₀.₀₂₅ ≈ 1.96|z| = 1.89 < 1.96 → H₀は棄却されない

結論:

有意水準5%では、袋の中の赤玉の割合が60％ではないとは判断できない。

です。

また、今月は、受験で話題になる「偏差値」と「合格判定」の見方についてを塾のニュースレターに掲載いたしました。こちらは塾生の実の保存版となります。

よろしくお願いいたします。